Question

9．如图，已知点D是Rt△ABC的斜边BC上的一点，tanB=$\frac{1}{2}$，BC=3BD，CE⊥AD，则$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意结合平行线的性质得出$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BF}{AF}$的值，进而利用锐角三角函数关系得出tan∠ACE=tan∠DAF=$\frac{AE}{EC}=\frac{DF}{AF}$的值，问题得解．

解答 解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠CAB=90°，DF⊥AB，
∴AC∥DF，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BF}{AF}$=
∵BC=3BD，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴AF=k•BF
∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DF}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$FB，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{\frac{1}{2}BF}{AF}=\frac{1}{4}$，
∵CE⊥AD，
∴tan∠ACE=$\frac{AE}{EC}$，
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠DAB=90°，
∴∠ACE=∠DAF，
∴tan∠ACE=tan∠DAF=$\frac{AE}{EC}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理、锐角三角函数关系等知识，正确得出tan∠ACE=tan∠DAF的值是解题关键．