Question

如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AD=15，AO=12．动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动．当其中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）求线段DO的长．
（2）设运动过程中△POQ两直角边的和为y，请求出y与t的函数关系式．
（3）请直接写出，在整个运动过程中，使△POQ与△AOD相似时所有t的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分的性质得到直角△AOD，在该直角三角形中利用勾股定理来求线段DO的长度；
（2）需要分类讨论：点P在线段OA上、点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OB上；
（3）需要分类讨论：△POQ∽△AOD、△QOP∽△AOD，利用相似三角形的对应边成比例求得相应线段的长度，从而求得相应的时间．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
在Rt△AOD中，AD=15，AO=12
由勾股定理得：
OD=

AD2-AO2

=

152-122

=9．

（2）①当0≤t≤6时，OP=12-2t，OQ=9-t，则OP+OQ=12-2t+9-t=-3t+21
即：y=-3t+21；
②当6＜t≤9时，OP=2t-12，OQ=9-t，则OP+OQ=2t-12+9-t=t-3
即：y=t-3；
③当9＜t≤12时，OP=2t-12，OQ=t-9，则OP+OQ=2t-12+t-9=3t-21
即：y=3t-21；
综上所述：y=

-3t+21(0≤t≤6) t-3(6＜t≤9) 3t-21(9＜t≤12)

；

（3）①当0≤t≤6时，△POQ∽△AOD，则

OP

OA

=

OQ

OD

，即

12-2t

12

=

9-t

9

，解得 t=0，此时△POQ与△AOD重合；
②当0≤t≤6时，△QOP∽△AOD，则

OP

OD

=

OQ

OA

，即

2t-12

9

=

9-t

12

，解得 t=

21

5

；
③当6＜t≤9时，△POQ∽△AOD，则

OP

OA

=

OQ

OD

，即

2t-12

12

=

9-t

9

，解得 t=

36

5

；
④当6＜t≤9时，△QOP∽△AOD，则

OP

OD

=

OQ

OA

，即

2t-12

9

=

9-t

12

，解得 t=

75

11

；
⑤当9＜t≤12时，△POQ∽△AOD，则

OP

OA

=

OQ

OD

，即

2t-12

12

=

t-9

9

，解得 t=0，不合题意，舍去；
⑥当9＜t≤12时，△QOP∽△AOD，则

OP

OD

=

OQ

OA

，即

2t-12

9

=

t-9

12

，解得 t=

21

5

，不合题意，舍去；
综上所述，t=0或

21

5

或

36

5

或

75

11

．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理以及函数关系式的书写．解答（2）、（3）题时，一定要结合图形，分类讨论来解答，以防漏解或错解．