Question

8．如图，直线AB过点A（8，0）、B（0，6）．反比例函数$y=\frac{p}{x}$（p＞0）的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
（1）求直线AB的函数关系式．
（2）若△AOC，△COD，△DOB的面积都相等时，求p的值．

Answer 1

分析 1）设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法把A（8，0）、B（0，6），代入函数关系式中，解出k、b的值即可得到函数关系式；
（2）根据A、B点坐标得到△AOB的面积，由△AOC、△COD、△DOB的面积都相等可得S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△AOB，即可得到$\frac{1}{2}$OA×CF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$OA×OB，代入相应线段的长即可求出CF的长，也就得到C点的纵坐标，再把C点的纵坐标代入直线AB的解析式中可以算出C点的横坐标，把C点的坐标代入反比例函数关系式即可得到答案．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB过点A（8，0）、B（0，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6；

（2）过点C分别作x轴的垂线，垂足是点F，
当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，
有S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△AOB，
即$\frac{1}{2}$OA×CF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$OA×OB，
$\frac{1}{2}$×8×CF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×8×6，
解得：CF=2，
即C点的纵坐标为2，
把C点的纵坐标代入y=-$\frac{3}{4}$x+6中，
-$\frac{3}{4}$x+6=2，
解得：x=$\frac{16}{3}$，
∴C（$\frac{16}{3}$，2），
把C（$\frac{16}{3}$，2）代入反比例函数$y=\frac{p}{x}$中得：p=$\frac{32}{3}$，
∴反比例函数的解析式是：y=$\frac{32}{3x}$．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，解决问题的关键是掌握已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．