Question

19．如图所示，点O是∠EPF平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若角的顶点P在圆上或在圆内，（1）的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线；由角平分线的性质得到OM=ON；由垂径定理得到AB=CD，即可解决问题．
（2）如图3，作辅助线；类似（1）中的证明方法，由角平分线的性质得到OM=ON；由垂径定理得到AB=CD，即可解决问题

解答 解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB，
ON⊥CD；
∵PO平分∠EPF，
∴OM=ON，
∴AB=CD（垂径定理的推论）．
（2）如图2或图3，点P分别在⊙O上或⊙O内，（1）中的结论仍然成立；仅以图3为例证明如下：
如图3，过点O作OM⊥AB、ON⊥CD；
∵PO平分∠EPF，
∴OM=ON，
∴AB=CD（垂径定理的推论）．

点评 该题主要考查了垂径定理、角平分线的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握垂径定理、角平分线的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．