Question

7．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，
（1）若半径为5，CD=8，求OP及BD的长度．
（2）若∠AOC=40°，求∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到P为CD的中点，由CD的长求出CP的长，再由圆的半径OC的长，在直角三角形CPO中，利用勾股定理求出OP的长，再在直角三角形BDP中得出BD的长；
（2）根据圆周角定理和∠AOC=40°，即可得出∠B的度数．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CP=DP，
∵CD=8，
∴CP=4，
∵OC=5，
∵OP²+CP²=OC²，
∴OP=3，
∴BP=8，
∵DP²+BP²=BD²，
∴BD=4$\sqrt{5}$；
（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∵∠AOC=40°，
∴∠B=20°．

点评 本题考查了垂径定理，以及勾股定理，垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平分于弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握定理是解本题的关键．