Question

12．如图，图①、图②、图③分别是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，∠A、∠B、∠C的对边的长度分别为a、b、c．

请阅读下列材料：
在图①中，由勾股定理，a、b、c三边的关系是：a²+b²=c²；在图②中，作BD⊥CA于D，如图．设CD=x，在Rt△BCD中，BD²=a²-x²；在Rt△BAD，BD²=c²-（b-x）²，所以a²-x²=c²-（b-x）²，化简得a²+b²=c²+2bx．
因为b＞0，x＞0，所以2bx＞0，所以a、b、c三边的关系是：a²+b²＞c²．
根据以上材料，试猜想：在钝角三角形中，a、b、c三边的关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 作BD⊥CA于D，设CD=x，在Rt△BCD和Rt△BAD中，利用勾股定理得出猜想结论a²+b²＜c²即可．

解答 猜想：在钝角三角形中，a、b、c三边的关系为a²+b²＜c²．
证明：如图，

作BD⊥CA于D，设CD=x，
在Rt△BCD中，
BD²=a²-x²；
在Rt△BAD，
BD²=c²-（b+x）²，
所以a²-x²=c²-（b+x）²，
化简得a²+2bx+b²=c²，
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a、b、c三边的关系是：a²+b²＜c²．

点评 此题考查勾股定理的运用，构造直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键．