【题目】如图,△OAP是等腰直角三角形,∠OAP=90°,点A在第四象限,点P坐标为(8,0),抛物线y=ax2+bx+c经过原点O和A、P两点.
(1)求抛物线的函数关系式.
(2)点B是y轴正半轴上一点,连接AB,过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点,且BC=AB,求点B坐标;
(3)在(2)的条件下,点M是线段BC上一点,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,求△CBN面积的最大值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)先根据是等腰直角三角形,和点P的坐标求出点A的坐标,再利用待定系数法即可求得;
(2)设点,如图(见解析),过点C作CH垂直y轴于点H,过点A作AQ垂直y轴于点Q,易证明,可得,则点C坐标为,将其代入题(1)中的抛物线函数关系式即可得;
(3)如图,延长NM交CH于点E,则,先通过点B、C求出直线BC的函数关系式,因点N在抛物线上,则设,则可得点M的坐标,再根据三角形的面积公式列出等式,利用二次函数的性质求最值即可.
(1)是等腰直角三角形,,点P坐标为
则点A的坐标为
将点O、A、B三点坐标代入抛物线的函数关系式得:
,解得:
故抛物线的函数关系式为:;
(2)设点,过点C作CH垂直y轴于点H,过点A作AQ垂直y轴于点Q,
又
故点C的坐标为
将点C的坐标代入题(1)的抛物线函数关系式得:
,解得:
故点B的坐标为;
(3)如图,延长NM交CH于点E,则
设直线BC的解析式为:,将点,点代入得:
解得:
则直线BC的解析式为:
因点N在抛物线上,设,则点M的坐标为
的面积
即
整理得:
又因点M是线段BC上一点,则
由二次函数的性质得:当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小
故当时,取得最大值.
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【题目】2019年5月,以“寻根国学,传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强一国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕,小明晋级了总决赛.比赛过程分两个环节,参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.
第一环节:写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用表示);
第二环节:成语听写、诗词对句、经典通读(分别用表示)
(1)请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果
(2)求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目(成语故事、成语接龙、成语听写)的概率。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,ABCD的顶点B,C在x轴上,A,D两点分别在反比例函数y=﹣(x<0)与y=(x>0)的图象上,若ABCD的面积为4,则k的值为:_____.
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【题目】在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )
A. ∠A=55°,∠D=35°
B. AC=9,BC=12,DF=6,EF=8
C. AC=3,BC=4,DF=6,DE=8
D. AB=10,AC=8,DE=15,EF=9
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知,A(2,0),B(0,2),C(,0),点P(m,n)为直线AB上一动点,若∠OPC=30°,则m的值为_____.
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