Question

20．已知关于x的方程 kx²-2（k+1）x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得此方程的有一个实数根等于4？若存在，求出k的值和方程的另一个根；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=[-2 （k+1）]²-4k（ k-1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）根据一元二次方程的解的定义把x=1代入方程可计算出k=1，满足（1）中可的取值范围，则原方程化为x²-4x=0，然后利用因式分解法解方程即可得到方程的另一个根．

解答 解：（1）根据题意得k≠0且△=[-2 （k+1）]²-4k（ k-1）＞0，
解得k＞$-\frac{1}{3}$且k≠0；
（2）存在．
将x=4代入原方程得k×4²-2 （k+1）×4+k-1=0，解得k=1，
而k＞$-\frac{1}{3}$且k≠0；
∴k的值为1，
当k=1时，原方程化为x²-4x=0，解得x₁=4，x₂=0，
∴方程的另一个根为0．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．