Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D，联结AC，BC，DB，DC．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）求证：△ACO∽△DBC；
（3）如果点E在x轴上，且在点B的右侧，∠BCE=∠ACO，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴顶点D的坐标为（1，4）

（2）解：∵当y=0时，0=﹣x2+2x+3，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴B（3，0），

又∵A（﹣1，0），D（1，4），

∴CD= ，BC=3 ，BD=2 ，AO=1，CO=3，

∴CD2+BC2=BD2，

∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，

∴∠AOC=∠DCB，

又∵ = ， = ，

∴ = ，

∴△ACO∽△DBC

（3）解：设CE与BD交于点M，

∵△ACO∽△DBC，

∴∠DBC=∠ACO，

又∵∠BCE=∠ACO，

∴∠DBC=∠BCE，

∴MC=MB，

∵△BCD是直角三角形，

∴∠BCM+∠DCM=90°=∠CBM+∠MDC，

∴∠DCM=∠CDM，

∴MC=MD，

∴DM=BM，即M是BD的中点，

∵B（3，0），D（1，4），

∴M（2，2），

设直线CE的解析式为y=kx+b，则

，

解得 ，

∴直线CE为：y=﹣ x+3，

当y=0时，0=﹣ x+3，

解得x=6，

∴点E的坐标为（6，0）．

【解析】（1）根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），即可求得b，c的值，进而得到抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）先根据B（3，0），A（﹣1，0），D（1，4），求得CD= ，BC=3 ，BD=2 ，AO=1，CO=3，进而得到CD2+BC2=BD2 ， 从而判定△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，最后根据∠AOC=∠DCB， = ，判定△ACO∽△DBC；（3）先设CE与BD交于点M，根据MC=MB，得出M是BD的中点，再根据B（3，0），D（1，4），得到M（2，2），最后根据待定系数法求得直线CE的解析式，即可得到点E的坐标．
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的逆定理(如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形)，还要掌握相似三角形的判定(相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）)的相关知识才是答题的关键．