Question

【题目】如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD= ．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，

连接BD，

∵AD为圆O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴BD= AD=3，

∵CD∥AB，∠ABD=90°，

∴∠CDB=∠ABD=90°，

在Rt△CDB中，tanC= = = ，

∴∠C=60°；

（2）证明：连接OB，

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠A=30°，

∵CD∥AB，∠C=60°，

∴∠ABC=180°﹣∠C=120°，

∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=120°﹣30°=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC为圆O的切线；

（3）解：过点O作OE⊥AB，则有OE= OA= ，

∵AB= = =3 ，

∴S△OAB= ABOE= ×3 × = ，

∵∠AOB=180°﹣2∠A=120°，

∴S扇形OAB= =3π，

则S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=3π﹣ ．

【解析】（1）连接BD，由AD为圆的直径，得到∠ABD为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，根据CD与AB平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB为直角，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出tanC的值，即可确定出∠C的度数；（2）连接OB，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由CD与AB平行，得到一对同旁内角互补，求出∠ABC度数，由∠ABC﹣∠ABO度数确定出∠OBC度数为90，即可得证；（3）过O作OE⊥AB，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，根据勾股定理求出AE的长，进而求出AB的长，确定出三角形OAB面积，再由扇形AOB面积减去三角形AOB面积求出阴影部分面积即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及对扇形面积计算公式的理解，了解在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．