Question

在△ABD中，∠ADB=90°，DE⊥AB于E，过AB的中点F作DF⊥CD交AB延长线于C．若BE=

1

5

AB，CD=2，则BC的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：根据直角三角形的性质求出DF=BF=

5

2

λ；根据勾股定理列出关于BC、λ的方程组，解方程组即可解决问题．

解答：解：如图，∵BE=

1

5

AB，
∴设BE=λ，则AB=5λ；
∵点F为直角△ABD的中点，
∴DF=BF=

5

2

λ；
∵DF⊥CD，
∴△BDF为直角三角形，
由勾股定理得：CF²=CD²+DF²，
即(

5λ

2

+CB)2=(

5λ

2

)2+22①；
由射影定理得：DE²=AE•BE=4λ²；
由勾股定理得：2²=4λ²+（λ+BC）²②
联立①②并解得：BC=

8

13

．
故答案为

8

13

．

点评：该题以直角三角形为载体，以勾股定理、射影定理等几何知识点的考查为核心构造而成；对运算求解能力、推理探究能力等均提出了较高的要求．