Question

如图①，小聪在学习圆的性质时发现一个结论，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，则∠BAD=∠OAC．
（1）请你帮小聪证明这个结论；
（2）运用以上结论解决问题：如图②，H为△ABC的垂心，若∠ABC的平分线BE⊥HO，⊙O的半径为10，求弦AC的长．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）作直径AE，连结CE，如图①，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，∠AEC=∠ABD，然后利用等角的余角相等即可得到结论；
（2）作直径CF，延长AH交BC于D，连结AF、BF、BH、OB，如图②，根据圆周角定理得∠CBF=∠CAF=90°，再根据垂心的定义得AH⊥BC，BH⊥AC，则AF∥BH，AH⊥BF，于是可判断四边形AHBF为平行四边形，得到AF=BH；接着由∠ABE=∠CBE，∠ABH=∠CBO得到∠HOE=∠OBE，加上OH⊥BE，所以△BOH为等腰三角形，得到BH=OB=10，则AF=10，然后在Rt△AFC中，利用勾股定理计算AC的长．

解答：（1）证明：作直径AE，连结CE，如图①，
∵AE为直径，
∴∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠ABD，
∴∠BAD=∠EAC，即∠BAD=∠OAC；
（2）解：作直径CF，延长AH交BC于D，连结AF、BF、BH、OB，如图②，
∵CF为直径，
∴∠CBF=∠CAF=90°，
∵AH⊥BC，BH⊥AC，
∴AF∥BH，AH⊥BF，
∴四边形AHBF为平行四边形，
∴AF=BH，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）的结论得∠ABH=∠CBO，
∴∠HOE=∠OBE，
∵OH⊥BE，
∴△BOH为等腰三角形，
∴BH=OB=10，
∴AF=BH=10，
在Rt△AFC中，∵CF=20，AF=10，
∴AC=

FC2-AF2

=10

3

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了平行四边形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．