Question

15．如图所示，正方形ABCD的边长等于2，它绕顶点B按顺时针方向旋转得到正方形A′BC′D′．在这个旋转过程中：
①旋转中心是什么？
②若旋转角为45°，边CD与A′D′交于F，求DF的长度．

Answer 1

分析 ①将正方形绕顶点B旋转，故旋转中心为B点；
②由正方形的性质可知∠ABD=45°，由旋转角为45°可知∠ABA′=45°，从而可知点B、A′、D三点在一条直线上，先利用勾股定理求得BD的长，从而可求得A′D的长，在Rt△A′DF中利用勾股定理可求得DF的长度．

解答 解：①旋转中心为B点．
②如图所示：

∵旋转角为45°，
∴∠ABA′=45°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=45°，∠A′DF=45°．
∴∠ABA′=∠ABD．
∴点B、A′、D三点在一条直线上．
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵A′D=BD-BA′，
∴A′D=2$\sqrt{2}$-2．
在Rt△A′DF中，DF=$\sqrt{A′{D}^{2}+A′{F}^{2}}$=4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用，依据正方形的性质和旋转的性质证得点B、A′、D三点在一条直线上，从而求得A′D的长度是解题的关键．