Question

20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．抛物线的顶点为D，点P是抛物线的对称轴上的一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）探究，是否存在同时与直线BC和x轴都相切的⊙P？若存在，请求出⊙P的半径及圆心坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据（1）得到的函数解析式，可求出D、C的坐标；易证得△OBC是等腰Rt△，若过A作BC的垂线，设垂足为E，在Rt△ABE中，根据∠ABE的度数及AB的长即可求出AE、BE、CE的长；连接AC，设抛物线的对称轴与x轴的交点为F，若∠APD=∠ACB，那么△AEC与△AFP，根据得到的比例，即可求出PF的长，也就求得了P点的坐标；
（3）存在同时与直线OM和x轴都相切的⊙P，分两种情况：①当点P₁在∠CBO的平分线上时，②当点P₂在∠CBO邻补角的平分线上时，进行讨论即可求解．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0），B（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x-3．

（2）由y=-x²-4x-3，
可得D（-2，1），C（0，-3），
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3$\sqrt{2}$，
如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=1，
过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=90°，
可得BE=AE=$\sqrt{2}$，CE=2$\sqrt{2}$，
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{CE}{PF}$，$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{PF}$，
解得PF=2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（-2，2）或（-2，-2）；

（3）存在同时与直线OM和x轴都相切的⊙P，
理由如下：①如图2，当点P₁在∠CBO的平分线上时，过P₁点作P₁M⊥BE于M点，
设⊙P₁的半径P₁F=r₁，则P₁M=r₁，PE=1-r₁，
根据切线长定理：BM=BF=1，
∴ME=BE-BM=$\sqrt{2}$-1，
在Rt△P₁ME中，P₁M²+ME²=P₁E²，即r₁²+（$\sqrt{2}$-1）²=（r₁-1）²，
解得r₁=$\sqrt{2}$-1．
∴P₁的坐标为（-2，1-$\sqrt{2}$）；
②如图2，当点P₂在∠CBO邻补角的平分线上时，过P₂点作P₂N⊥BC于N点，
设⊙P₂的半径P₂F=r，则P₂N=r₂，P₂E=1+r₂，
根据切线长定理：BN=BF=1，
∴NE=BE+BN=$\sqrt{2}$+1，
在Rt△P₂ME中，P₂M²+ME²=P₂E²，即r₂²+（$\sqrt{2}$+1）²=（1+r₂）²，
解得r₂=1+$\sqrt{2}$．
∴P₂的坐标为（-2，1+$\sqrt{2}$）；
综上所述，⊙P₁的半径r₁=$\sqrt{2}$-1，圆心P₁的坐标为（-2，1-$\sqrt{2}$）或半径r₂=$\sqrt{2}$+1，圆心P₂的坐标为（-2，1+$\sqrt{2}$）时，⊙P同时与直线BC和x轴都相切．

点评 此题考查了二次函数综合题，关键是熟练掌握二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、函数图象交点及图形面积的求法等知识，以及方程思想和分类思想的应用，综合性强，难度较大．