Question

10．平面直角坐标系中，边长为6的正方形OABC放置如图（1），现将它绕O点顺时针旋转n°（0＜n＜45）交直线y=x于M，BC交于x轴于N．

（1）如图（1）中，点B的坐标为（6，6）．图（2）中∠MON=45度；
（2）如图（2），当MN∥AC时，①求证：AM=CN，②求n的值；
（3）如图（3），设△BMN的周长为p，问：p的值是否为常数？若是，请直接写出p的值；若不是，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根据正方形的性质可得出B点坐标，再由直线y=x可得出∠MON的度数；
（2）①先根据正方形的性质得出AB=BC，再由MN∥AC即可得出结论；
②解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数，进而可得出结论；
（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子即可．

解答 （1）解：∵四边形OABC是边长为6的正方形，
∴OC=BC=6，
∴B（6，6）；
∵正方形OABC交直线y=x于M，
∴∠MON=45°．
故答案为：（6，6），45；

（2）①证明：∵四边形OABC是正方形，
∴AB=BC．
∵MN∥AC，
∴BM=BN，
∴AM=CN；

②解：∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
在△OAM和△OCN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OA=OC\\∠OAM=∠OCN\\ AM=AN\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠MON）=$\frac{1}{2}$（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，n=22.5°；

（3）在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
在△OAE和△OCN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠AOE=∠CON\\ OA=OC\\∠EAO=∠NOC=90°\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OE=ON\\∠EOM=∠NOM=45°\\ OM=OM\end{array}\right.$，
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=12．
∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．

点评 此题主要考查的是四边形综合题，涉及到旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，注意求一些线段的长度或角的度数，总要整理到已知线段的长度上或已知角的度数上进而得出是解题关键．