Question

【题目】如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．

（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；

（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；

（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2020时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．

Answer 1

【答案】（1）△BOP的周长的最小值为6+6；（2）当m＝2时，点C到直线l距离最大，最大值为1；（3）4042个．

【解析】

（1）由已知分别求出，，，；连接BD与对称轴的交点即为P；求出BD的值即可求的周长的最小值；

（2）点C到直线l距离为，当时，该距离有最大值；

（3）分别求出，，，，时满足条件的“整数点”的个数，找到规律，由此推理出时，“整数点”的个数．

解：由已知可得A（0，﹣m），B（0，m），

∵y＝x2+mx的顶点为C，

∴C（﹣，﹣），

∵y＝x2+mx与x轴交点为（0，0），（﹣m，0），

∴D（﹣m，0）；

（1）∵AB＝12，

∴m＝6，

∴D（﹣6，0），B（0，6），

∵抛物线的对称轴为x＝﹣，

∴D与O关于x＝﹣，

连接BD与对称轴的交点即为P；

∵DP＝OP，

∴△BOP的周长＝BO+BP+PO＝BO+BP+PD＝BO+BD；

∵BD＝6，OB＝6，

∴△BOP的周长的最小值为6+6；

（2）∵点C在直线l上方，

∴点C到直线l距离为﹣﹣（﹣m）＝﹣+m＝﹣（m﹣2）2+1，

当m＝2时，点C到直线l距离最大，最大值为1；

（3）当n＝1时，y＝x+1与y＝x2+x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有4个，

当n＝2时，y＝x+2与y＝x2+2x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有6个，

当n＝3时，y＝x+3与y＝x2+3x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有8个，

当n＝4时，y＝x+4与y＝x2+4x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有10个，

……

当n＝2020时，y＝x+2020与y＝x2+2020x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有4042个．