Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2交x正半轴轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，O为坐标原点，这条抛物线的对称轴为直线x=-

3

2

．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P（点C除外），使△APB的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据对称轴x=-

b

2a

即可求得b的值，从而求得抛物线的解析式；
（2）根据三角形ABC的面积和AB的长求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P的坐标．

解答：解：∵抛物线y=

1

2

x²+bx-2的对称轴为直线x=-

3

2

，
∴-

b

2× 1 2

=-

3

2

，
解得b=

3

2

．
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）如图，由抛物线的解析式为y=

1

2

x²+

3

2

x-2．
∴C的坐标为（0，-2），
令y=0，
∴

1

2

x²+

3

2

x-2=0，解得x₁=-4，x₂=1，
∴A（1，0），B（-4，0），
∴AB=5，
∵△APB的面积等于△ABC的面积，
∴P的纵坐标为2或-2，
把y=2代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2得

1

2

x²+

3

2

x-2=2，解得x=

-3+ 41

2

或x=

-3- 41

2

，
把y=-2代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2得

1

2

x²+

3

2

x-2=-2，解得x=0或x=-3；
∴P点的坐标为（

-3+ 41

2

，2）或（

-3- 41

2

，2）或（-3，-2）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，综合性较强．