Question

4．如图，在平面直角坐标中，四边形ABCD的四个顶点都在双曲线y=$\frac{1}{x}$上，其中，点A、B在第一象限，点C、D在第三象限，对角线AC经过原点O，求证：∠BAD=∠BCD．

Answer 1

分析 延长BA交x轴于F，延长DC交x轴于M，过点B作BH⊥x轴于H，如图所示．设点A（a，$\frac{1}{a}$），点B（b，$\frac{1}{b}$），则点C（-a，-$\frac{1}{a}$）．然后运用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出直线AB与x轴的交点F的坐标，然后根据三角函数的定义求得tan∠BFH=$\frac{1}{ab}$，同理可得tan∠BEH=$\frac{1}{ab}$，即可得到∠BFH=∠BEH，从而可得∠BFH=∠MEC，同理可得∠ANF=∠DMO，然后根据三角形外角的性质可得∠BAD=∠BCD．

解答 证明：延长BA交x轴于F，延长DC交x轴于M，过点B作BH⊥x轴于H，如图所示．
设点A（a，$\frac{1}{a}$），点B（b，$\frac{1}{b}$），则点C（-a，-$\frac{1}{a}$）．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=am+n}\\{\frac{1}{b}=bm+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{ab}}\\{n=\frac{a+b}{ab}}\end{array}\right.$，．
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{ab}$x+$\frac{a+b}{ab}$，
当y=0时，x=a+b，则F（a+b，0）．
在Rt△BHF中，tan∠BFH=$\frac{BH}{HF}$=$\frac{\frac{1}{b}}{a+b-b}$=$\frac{1}{ab}$．
同理可得：tan∠BEH=$\frac{BH}{EH}$=$\frac{1}{ab}$，
∴tan∠BFH=tan∠BEH，
∴∠BFH=∠BEH．
∵∠MEC=∠BEH，
∴∠BFH=∠MEC．
同理可得：∠ANF=∠DMO．
∵∠BCD=∠MEC+∠DMO，∠BAD=∠BFH+∠ANF，
∴∠BAD=∠BCD．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求直线的解析式、求直线与x轴的交点坐标、三角函数的定义、三角形外角的性质等知识，证到直线BA、BC与x轴所成的锐角相等及直线DA、DC与x轴所成的锐角相等，是解决本题的关键．