Question

等边三角形的三个顶点分别在一个三角形的三条边上，我们称这个三角形为这个三角形的“内接等边三角形”，
如图，按下列步骤画图． 
①在△ABC内任画等边△DEF，使点D在AB上，点E在AC上．
②连接AF并延长，交BC于点F'，过点F′作F′D′∥FD，交AB于点D′，作F′E′∥FE，交AC于点E′；
③连接D′E′；
△D′E′F′是△ABC的内接等边三角形吗？说明你的理由．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：根据平行线分线段成比例定理和平行线的性质，证明△D′E′F′和△ABC的两边的比值相等，且两边的夹角对应相等，即可证得△D'E'F'∽△ABC，证明△D'E'F'是等边三角形，则△D′E′F′是△ABC的内接等边三角形．

解答：解：△D′E′F′是△ABC的内接等边三角形．
理由是：∵F′D′∥FD，
∴

DF

D′F′

=

AF

AF′

，∠AFD=∠AF'D'，
同理，

EF

E′F′

=

AF

AF′

，∠AFE=∠AF'E'，
∴

DF

D′F′

=

EF

E′F′

，∠EFD=∠E'F'D'，
∴△D'E'F'∽△ABC，
又∵△DEF是等边三角形，
∴△D'E'F'是等边三角形，则△D′E′F′是△ABC的内接等边三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定，以及尺规作图，证明△D'E'F'∽△ABC是关键．