Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC，交⊙O于D，点M是△ABC的内心．
（1）判断BC与DM的数量关系，并证明；
（2）若AB=8，AC=6，求AD的长．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：（1）连接DB、DC、CM，由AD平分∠BAC，根据圆周角定理得

BD

=

CD

，∠BDC=90°，则可判断△BCD为等腰直角三角形，所以BC=

2

CD，再根据三角形内心的性质得∠MCB=∠MCA，而∠DMC=∠DAC+∠MCA，∠DAC=∠BCD，易得∠DMC=∠MCD，所以DM=DC，则BC=

2

DM；
（2）作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，如图，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出BC=10，再求出△ABC的内切圆的半径为2，根据内心的性质易得ME=MF，则可判断四边形AEMF为正方形，则AM=

2

ME=2

2

，再由（1）的结论得DM=

2

2

BC=5

2

，所以AD=AM+DM=7

2

．

解答：解：（1）BC=

2

DM．理由如下：
连接DB、DC、CM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=

2

CD，
∵点M是△ABC的内心，
∴CM平分∠ACB，
∴∠MCB=∠MCA，
∵∠DMC=∠DAC+∠MCA，
∠DAC=∠BCD，
∴∠DMC=∠BCD+∠MCB=∠MCD，
∴DM=DC，
∴BC=

2

DM；
（2）作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，如图，
在Rt△ABC中，∵AB=8，AC=6，
∴BC=

AB2+BC2

=10，
∴△ABC的内切圆的半径=

6+8-10

2

=2，
∵点M是△ABC的内心，
∴AM平分∠BAC，
∴ME=MF，
∴四边形AEMF为正方形，
∴AM=

2

ME，
∴AM=2

2

，
而DM=

2

2

BC=5

2

，
∴AD=AM+DM=7

2

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为

a+b-c

2

．也考查了圆周角定理．