Question

3．△ABC内接于⊙O，BD、CE为△ABC的两条高，试说明：AO⊥DE．

Answer 1

分析 延长AO交⊙O于F，连接CF，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACF=90°，根据D、E、B、C四点共圆，得到∠ADE=∠ABC，得到∠ADE+∠FAC=90°，得到答案．

解答 证明：延长AO交⊙O于F，连接CF，
则∠ACF=90°，
∵BD、CE为△ABC的两条高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∴D、E、B、C四点共圆，
∴∠ADE=∠ABC，又∠AFC=∠ABC，
∴∠ADE=∠AFC，
∴∠ADE+∠FAC=90°，
∴AO⊥DE．

点评 本题考查的是三角形的外接圆、圆周角定理、四点共圆的知识，掌握同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．