Question

13．已在2a²+b=1，a＞0，b＞0，求2a+b的最值．

Answer 1

分析 由已知条件得到b=2a²-1，则所求的代数式转化为2a²+2a-1的形式，则利用二次函数图象的性质来求最值即可．

解答 解：∵2a²+b=1，a＞0，b＞0，
∴b=2a²-1＞0，则a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）．
∴2a+b=2a²+2a-1=2（a+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$．
设y=2（a+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，则该函数图象的开口方向向上，且对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∴在a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$上y随a的增大而增大，
∴当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y_最大=-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．