Question

11．如图，点A₁是面积为3的等边△ABC的两条中线的交点，以BA₁为一边，构造等边△BA₁C₁，称为第一次构造；点A₂是△BA₁C₁的两条中线的交点，再以BA₂为一边，构造等边△BA₂C₂，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△B_nA_nC_n的顶点C_n第一次落在线段AB上时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是$\frac{1}{27}$．

Answer 1

分析 设等边△ABC的边长为a，根据等边三角形的性质求出A₁C=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，∠ABA₁=30°，同理判断出每次构造后等边三角形的边长变为原来的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，再确定出每一次构造三角形绕点B顺时针旋转30°，然后求出4次构造后构造停止，用a表示出构造停止后的等边三角形的边长，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．

解答 解：设等边△ABC的边长为a，
则等边△ABC的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵A₁是两条中线的交点，
∴A₁C=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，∠ABA₁=30°，
同理可得，每次构造后等边三角形的边长变为原来的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，
∵第n次构造出的等边△B_nA_nC_n的边BC_n与等边△CBA的边AB第一次在同一直线上时，构造停止，
∴（180°-60°）÷30°=120°÷30°=4，
即4次构造后，构造停止，
∴构造停止时的等边三角形的边长为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）⁴a，
设最后一个三角形的面积为S，
则$\frac{S}{3}$=（$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{4}a}{a}$）²，
解得S=$\frac{1}{27}$．
故答案为：$\frac{1}{27}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，等边三角形是特殊的等腰三角形，根据三角形重心的性质求出重心到等边三角形顶点的距离等于边长的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍是解题的关键，也是本题的难点．