Question

2．如图，Rt△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（2，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止．设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形B₁C₁F₁E₁与△AEF重叠的面积为S．
（1）求折痕EF的长；
（2）直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．
（3）若四边形BCFE平移时，另有一动点H与四边形BCFE同时出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度从点A沿射线AC运动，试求出当t为何值时，△HE₁E为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据折叠后BE与EA所在直线重合推出EF=EA，OA=OE=2，可求出AE，EF的值．
（2）根据四边形BCFE与△AEF重叠的面积为直角梯形EFQE ₁，由梯形的面积公式求出S与t的函数关系式，同理可证出其它三种情况；
（3）根据已知条件和勾股定理求出E₁H的值，从而得出EH和EE₁的值，再分三种情况讨论，当E₁H=EE₁时，当E₁E=EH时，当E₁H=EH时，求出x的值即可．

解答 解：（1）∵折叠后BE与EA所在直线重合，
∴EF⊥EA，
∵Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∴EF=EA，
∵A（2，0），
∴OA=OE=2，AE=2$\sqrt{2}$，
∴EF=2$\sqrt{2}$；    

（2）如图1，当0≤t≤2$\sqrt{2}$时，
设F₁E₁与x轴交与点M，
∵平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，
∴EE₁=t，AE₁=2$\sqrt{2}$-t，
∴ME₁=2$\sqrt{2}$-t，
∴S=$\frac{1}{2}$（ME₁+EF）EE₁=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$-t+2$\sqrt{2}$）t=-$\frac{1}{2}$t²+2$\sqrt{2}$t（0≤t≤2$\sqrt{2}$），
同理可得出其它函数解析式：
S=4（2$\sqrt{2}$≤t≤4$\sqrt{2}$）             
S=-$\frac{1}{4}$t²+2$\sqrt{2}$t-4（4$\sqrt{2}$≤t≤6$\sqrt{2}$）
S=$\frac{1}{4}$t²-4$\sqrt{2}$t+32（6$\sqrt{2}$≤t≤8$\sqrt{2}$）；

（3）根据题意得：
E₁H=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}t-2）^{2}+（2-\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}-8\sqrt{2}t+8}$，EH=$\sqrt{2{t}^{2}-4\sqrt{2}t+8}$，EE₁=$\sqrt{\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}}$，
分三种情况：
当E₁H=EE₁时，4t²-8$\sqrt{2}$t+8=0，即t²-2$\sqrt{2}$t+2=0，
解得：t=$\sqrt{2}$；
当E₁E=EH时，2t²-4$\sqrt{2}$t+8=t²，即t²-4$\sqrt{2}$t+8=0，
解得：t=2$\sqrt{2}$；
当E₁H=EH时，5t²-8$\sqrt{2}$t+8=2t²-4$\sqrt{2}$t+8，即3t²-4$\sqrt{2}$t=0，
解得：t=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$或0（不合题意，舍去），
综上：t=$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$或$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题综合考查的是分段函数的知识，二次函数的综合运用以及三角函数的应用，关键是根据题意画出相应的辅助线，注意分类讨论，不要漏解．