Question

【题目】已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点。

(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___，QE与QF的数量关系是___；

(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF （2）答案见解析

【解析】

（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．

(1)AE∥BF，QE=QF，

理由是：如图1，∵Q为AB中点，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ=90，

在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ(AAS)，

∴QE=QF，

故答案为：AE∥BF；QE=QF.

(2)QE=QF，

证明：如图2，延长FQ交AE于D，

∵Q为AB中点，

∴AQ=BQ,

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，

∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ(ASA)，

∴QF=QD，

∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，

∴QE=QF=QD，

即QE=QF.