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【题目】已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过AB向直线CP作垂线,垂足分别为EFQ为斜边AB的中点。

(1)如图1,当点P与点Q重合时,AEBF的位置关系是___,QEQF的数量关系是___;

(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QEQF的数量关系,并给予证明;

【答案】(1)AEBFQE=QF 2)答案见解析

【解析】

1)根据AAS推出△AEQ≌△BFQ,推出AE=BF即可;
2)延长EQBFD,求出△AEQ≌△BDQ,根据全等三角形的性质得出EQ=QD,根据直角三角形斜边上中点性质得出即可.

(1)AEBFQE=QF

理由是:如图1,∵QAB中点,

AQ=BQ

BFCPAECP

BFAE,∠BFQ=∠AEQ=90

在△BFQ和△AEQ

∴△BFQ≌△AEQ(AAS),

QE=QF

故答案为:AEBFQE=QF.

(2)QE=QF

证明:如图2,延长FQAED

QAB中点,

AQ=BQ,

BFCPAECP

BFAE

∴∠QAD=∠FBQ

在△FBQ和△DAQ

∴△FBQ≌△DAQ(ASA),

QF=QD

AECP

EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,

QE=QF=QD

QE=QF.

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