Question

【题目】如图，已知抛物线经过坐标原点和轴上另一点，顶点的坐标为．矩形的顶点与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形以每秒个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动，设它们运动的时间为秒，直线与该抛物线的交点为(如图2所示)．

①当，判断点是否在直线上，并说明理由；

②设P、N、C、D以为顶点的多边形面积为，试问是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x；（2）点P不在直线MB上，理由见解析；②当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．

【解析】

（1）设抛物线解析式为，将代入求出即可解决问题；

（2）①由（1）中抛物线的解析式可以求出点的坐标，从而可以求出的解析式，再将点的坐标代入直线的解析式就可以判断点是否在直线上．

②设出点，，可以表示出的值，根据梯形的面积公式可以表示出与的函数关系式，从而可以求出结论．

解：（1）设抛物线解析式为，

把代入解析式得，

解得，，

函数解析式为，即．

（2）①，

当时，，

，，

，

设直线的解析式为：，则

，

解得：，

直线的解析式为：，

当时，，，

当时，，

当时，点不在直线上．

②存在最大值．理由如下：

点在轴的非负半轴上，且在抛物线上，

．

点，的坐标分别为、，

，

，

，

I.当，即或时，以点，，，为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为，

，

II.当时，以点，，，为顶点的多边形是四边形，

，，

，

，

，

，

时，有最大值为，

综合以上可得，当时，以点，，，为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．