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【题目】如图,抛物线my=﹣0.25x+h2+kx轴的交点为AB,与y轴的交点为C,顶点为M36.25),将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为D

1)求抛物线n的解析式;

2)设抛物线nx轴的另一个交点为E,点P是线段DE上一个动点(P不与DE重合),过点Py轴的垂线,垂足为F,连接EF.如果P点的坐标为(xy),PEF的面积为S,求Sx的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;

3)设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G,以G为圆心,AB两点间的距离为直径作⊙G,试判断直线CM与⊙G的位置关系,并说明理由.

【答案】(1)y=x2x+36;(2)S=﹣x2+x(13<x<18),△PEF的面积S没有最大值;(3)直线CM与⊙G相切,理由见解析.

【解析】试题分析:1)根据抛物线m的顶点为M36.25)得出m的解析式为y=-x-32+=-x-8)(x+2),求出A-20),B80),再根据旋转的性质得出D的坐标为(13-6.25),进而求出抛物线n的解析式;
2)由点E与点A关于点B成中心对称,得出E180),利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=x-,再根据SPEF=PFOF得出Sx的函数关系式,进而求解即可;
3)利用勾股定理求出CG==5=G的半径,得出点C在⊙G上.过My轴的垂线,垂足为N,连结CM,利用勾股定理求出CM2=CN2+MN2=-42+32=,计算得出CG2+CM2=52+==2=GM2,根据勾股定理的逆定理得到CGCM,由切线的判定定理即可得出直线CM与⊙G相切.

试题解析:(1∵抛物线my=﹣0.25x+h2+k的顶点为M36.25),

m的解析式为y=x32+=x8)(x+2),

A﹣20),B80),

∵将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为D

D的坐标为(13﹣6.25),

∴抛物线n的解析式为y=x132,即y=x2x+36

2∵点E与点A关于点B成中心对称,

E180).

设直线DE的解析式为y=kx+b

,解得

y=x

P点的坐标为(xy),13x18

SPEF=PFOF=xy=xy=xx=x2+x

S=x2+x13x18),

∴当x==9时,S有最大值,但13x18,所以PEF的面积S没有最大值;

3)直线CM与⊙G相切,理由如下:

∵抛物线m的解析式为y=x32+=x8)(x+2),

∴令x=0,得y=4

C04).

∵抛物线m的对称轴与x轴的交点为G

G30),

OC=4OG=3,连结CG

CG==5

AB=10

∴⊙G的半径是5

∴点C在⊙G上.

My轴的垂线,垂足为N,连结CM

CM2=CN2+MN2=42+32=

CG2+CM2=52+==2=GM2

CGCM

∴直线CM与⊙G相切.

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