【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点和点,与轴交于点,且点在轴上,为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)若是第一象限内抛物线上的一个运动的点,点的横坐标为,过点作轴,交直线于点,求当为何值时,线段的长最大?最大值是多少?并直接写出此时点的坐标;
(3)在(2)的条件下,当的长取得最大值时,在坐标平面内是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1);点的坐标为;(2)当时,的长最大,最大值是,;(3)存在,,,
【解析】
(1)根据直线方程得出A,C两点的坐标,再代入抛物线,即可求出解析式,再对解析式进行配方即可得出D点的坐标;
(2)用m表示出PQ的坐标,根据题意列出关于m的函数解析式,求解即可;
(3)需要分类讨论:①以PQ为边时,②以PQ为对角线时.
解:(1)由直线可知,,
把点和点代入中,得
解得:,
,
又∵,
点的坐标为;
(2)将y=0代入抛物线,
得B点坐标为(3,0),
∵有(1)得C点的坐标为,
∴可知的解析式是,
∴设,
当时,的长最大,最大值是,
;
(3)存在,在(2)的条件下P点的坐标为,Q点的坐标为,
①以PQ为边时,则AH∥PQ,即H点与A点的横坐标一致时,能让以为顶点的四边形是平行四边形,此时根据设H点的坐标为(-1,a),
根据平行四边形的性质可得│AH│=│PQ│,即│a│-0=,
解得a=±,
∴此时H的坐标有两种情况:,,
②以PQ为对角线时,则有AQ∥PH,能让以为顶点的四边形是平行四边形,
此时设H点的坐标为(a,b),
根据图象和平行四边形的性质可得,
解得,
∴此时H的坐标为:,
综上符合题意的H点的坐标有:,,.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=4cm,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′,则阴影部分的面积为 ___________cm2 .
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△MCN,点D、E分别为AB、MN的中点,若点E刚好落在边BC上,则sin∠DEC=__.
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【题目】如图所示,在的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,线段的端点、均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以为斜边的直角三角形,点在小正方形顶点上,且;
(2)在图中画出等腰三角形,点在小正方形的顶点上,且的面积为;
(3)连接,请直接写出的值.
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【题目】如图,抛物线与轴交于,两点,点在点的左侧,抛物线与轴正半轴交于点,分别连接、,则有,,
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设为抛物线的顶点,点为线段上任意一点,过点作轴的垂线分别交直线及抛物线于点、点,当是锐角三角形时,求的取值范围.
(3)在(2)的前提下,设,求 的最大值.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的边 AD∥x 轴,直线y=2x+b 与 x 轴交于点 B,与反比例函数 y=(k>0)图象交于点 D 和点 E,OB=3,OA=4.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)点 P 为线段 BE 上的一个动点,过点 P 作 x 轴的平行线,当△CDE 被这条平行线分成面积相等的两部分时,求点 P 的坐标.
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【题目】参照学习函数的过程与方法,探究函数y=的图象与性质.
因为y=,即y=﹣+1,所以我们对比函数y=﹣来探究.
列表:
x | … | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | ﹣ | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
y=﹣ | … | 1 | 2 | 4 | ﹣4 | ﹣1 | 1 | ﹣ | ﹣ | … | ||
y= | … | 2 | 3 | 5 | ﹣3 | ﹣1 | 0 | … |
描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以y=相应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图所示:
(1)请把y轴左边各点和右边各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起来;
(2)观察图象并分析表格,回答下列问题:
①当x<0时,y随x的增大而 ;(填“增大”或“减小”)
②y=的图象是由y=﹣的图象向 平移 个单位而得到;
③图象关于点 中心对称.(填点的坐标)
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=的图象上的两点,且x1+x2=0,试求y1+y2+3的值.
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【题目】弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件,用弹性材料制成的零件在外力作用下发生形变,除去外力后又恢复原状.某班同学在探究弹簧的长度与所受外力的变化关系时,通过实验记录得到的数据如下表:
砝码的质量x(克) | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 400 | 500 |
指针的位置y(cm) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 7.5 | 7.5 | 7.5 |
小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究,下面是小腾的探究过程,请补充完整.
(1)根据上述表格在平面直角坐标系中补全该函数的图象;
(2)根据画出的函数图象,写出:
①当x=0时,y= ,它的实际意义是 ;
②当指针的位置y不变时,砝码的质量x的取值范围为 .
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