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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点和点,与轴交于点,且点轴上,为抛物线的顶点.

1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;

2)若是第一象限内抛物线上的一个运动的点,点的横坐标为,过点轴,交直线于点,求当为何值时,线段的长最大?最大值是多少?并直接写出此时点的坐标;

3)在(2)的条件下,当的长取得最大值时,在坐标平面内是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点的坐标:若不存在,请说明理由.

【答案】(1);点的坐标为;(2)当时,的长最大,最大值是;(3)存在,

【解析】

1)根据直线方程得出AC两点的坐标,再代入抛物线,即可求出解析式,再对解析式进行配方即可得出D点的坐标;

2)用m表示出PQ的坐标,根据题意列出关于m的函数解析式,求解即可;

3)需要分类讨论:①以PQ为边时,②以PQ为对角线时.

解:(1)由直线可知

把点和点代入中,得

解得:

又∵

的坐标为

2)将y=0代入抛物线

B点坐标为(30),

∵有(1)得C点的坐标为

∴可知的解析式是

∴设

时,的长最大,最大值是

3)存在,在(2)的条件下P点的坐标为Q点的坐标为

①以PQ为边时,则AHPQ,即H点与A点的横坐标一致时,能让以为顶点的四边形是平行四边形,此时根据设H点的坐标为(-1a),

根据平行四边形的性质可得│AH│=│PQ│,即│a│-0=

解得a=±

∴此时H的坐标有两种情况:

②以PQ为对角线时,则有AQPH,能让以为顶点的四边形是平行四边形,

此时设H点的坐标为(ab),

根据图象和平行四边形的性质可得

解得

∴此时H的坐标为:

综上符合题意的H点的坐标有:

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3)在(2)的前提下,设,求 的最大值.

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【题目】参照学习函数的过程与方法,探究函数y=的图象与性质.

因为y=,即y=﹣+1,所以我们对比函数y=﹣来探究.

列表:

x

﹣4

﹣3

﹣2

﹣1

1

2

3

4

y=﹣

1

2

4

﹣4

﹣1

1

y=

2

3

5

﹣3

﹣1

0

描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以y=相应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图所示:

(1)请把y轴左边各点和右边各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起来;

(2)观察图象并分析表格,回答下列问题:

①当x<0时,yx的增大而   ;(填增大减小”)

y=的图象是由y=﹣的图象向   平移   个单位而得到;

③图象关于点   中心对称.(填点的坐标)

(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=的图象上的两点,且x1+x2=0,试求y1+y2+3的值.

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【题目】弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件,用弹性材料制成的零件在外力作用下发生形变,除去外力后又恢复原状.某班同学在探究弹簧的长度与所受外力的变化关系时,通过实验记录得到的数据如下表:

砝码的质量x(克)

0

50

100

150

200

250

300

400

500

指针的位置ycm

2

3

4

5

6

7

7.5

7.5

7.5

小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的yx之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究,下面是小腾的探究过程,请补充完整.

1)根据上述表格在平面直角坐标系中补全该函数的图象;

2)根据画出的函数图象,写出:

①当x0时,y   ,它的实际意义是   

②当指针的位置y不变时,砝码的质量x的取值范围为   

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