Question

7．如图，已知B（0，-4）射线BO绕B点逆时针旋转30°，交第二象限角平分线于P点，线段PB绕P点顺时针旋转45°交x轴于Q点，求BQ长．

Answer 1

分析 作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，过P作PA⊥PQ交y轴于点A，如图，根据角平分线的性质得PE=PF，再利用等角的余角相等得到∠APF=∠QPE，则可根据“AAS”判断△APF≌△QPE，则PA=PQ，接着利用”SAS“证明△PBA≌△PBQ得到∠PBA=∠PBQ=30°，所以∠OQB=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求BQ．

解答 解：作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，过P作PA⊥PQ交y轴于点A，如图，
∵OP为第二象限角平分线，
∴PE=PF，
∵PQ⊥PA，
∴∠APQ=90°，
即∠APE+∠QPE=90°，
∵∠APE+∠APF=90°，
∴∠APF=∠QPE，
在△APF和△QPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFP=∠QEP}\\{∠APF=∠QPE}\\{PA=PE}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△QPE，
∴PA=PQ，
∵线段PB绕P点顺时针旋转45°交x轴于Q点，
∴∠BPQ=45°，
而∠APQ=90°，
∴∠BPA=45°，
在△PBA和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PQ}\\{∠BPA=∠BPQ}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△PBA≌△PBQ，
∴∠PBA=∠PBQ，
∵射线BO绕B点逆时针旋转30°，
∴∠PBA=30°，
∴∠PBQ=30°，
∴∠OQB=90°-30°-30°=30°，
在Rt△BOQ中，∵OB=4，∠OQB=30°，
∴BQ=2OB=8．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是作辅助线构建全等三角形，证明PB平分∠OBQ．