Question

如图，已知Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，作△CDB的高DC₁，作△DC₁B的高C₁D₁，…，就这样无限作下去，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：规律型

分析：若逐一求阴影部分的面积此题会比较复杂，可从整体的角度来求解此题；易知所有白色部分的小直角三角形都与阴影部分的三角形相似，那么它们的面积比应该等于相似比的平方，它们的相似比为AC：CD，AC的长已知，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得CD，由此求得阴影部分占△ABC面积的比例大小，从而可求得阴影部分的面积和．

解答：解：∵DC₁∥AC，
∴Rt△ACD∽△CDC₁，同理可证：Rt△C₁D₁D∽Rt△C₁D₁C₂，…；
即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似，
∵如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，BC=

AB2-AC2

=2

3

．
在Rt△ABC中，CD⊥AB，
由S=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，故CD=

3

，
∴AC：CD=2：

3

，
∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AC²：CD²=4：3，
故S_阴影=

3

7

S_△ABC=

3

7

×

1

2

×2×2

3

=

6 3

7

．

点评：此题主要考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定和性质，注意整体思想在此题中的应用．