Question

【题目】如图，在ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M．点N在边BC上，且AM＝CN，连结DN．

（1）若AB＝，AC＝4，求BC的长；

（2）求证：AD+AM＝DN．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）见解析

【解析】

（1）证出△ACE是等腰直角三角形，由勾股定理得：AE＝CE＝2，BE＝＝，即可得出结果；

（2）延长AD至G，使DG＝AM，证出四边形CGDN是平行四边形，得出CG＝DN，证明△ABE≌△CME，得出AB＝CM，∠B＝∠CME，再证明△ACM≌△GCD，得出∠G＝∠MAC＝45°，证出△ACG是等腰直角三角形，得出AG＝CG，即可得出结论．

（1）解：∵∠ACB＝45°，AE⊥BC，

∴∠AEC＝∠AEB＝90°，△ACE是等腰直角三角形，

∴∠EAC＝45°，AE＝CE＝＝＝2，

由勾股定理得：BE＝＝＝，

∴BC＝BE+CE＝3；

（2）证明：延长AD至G，使DG＝AM，连接CG，如图所示：

∵AM＝CN，

∴DG＝CN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD//BC，∠B＝∠ADC，

∴DG∥CN，

∴四边形CGDN是平行四边形，

∴CG＝DN，

∵CF⊥AB，

∴∠CFB＝90°＝∠AEB＝∠CEA，

∴∠BAE＝∠MCE，

在△ABE和△CME中，

，

∴△ABE≌△CME（AAS），

∴AB＝CM，∠B＝∠CME，

∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，

∴∠AMC＝∠GDC，

在△ACM和△GCD中，

，

∴△ACM≌△GCD（SAS），

∴∠G＝∠MAC＝45°，

∵AD//BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝45°，

∴△ACG是等腰直角三角形，

∴AG＝CG，

∵AG＝AD+DG＝AD+AM，CG＝DN，

∴AD+AM＝DN．