[题目]如图.抛物线与轴交于点.与轴交于.两点(点在轴正半轴上).为等腰直角三角形.且面积为.现将抛物线沿方向平移.平移后的抛物线过点时.与轴的另一点为.其顶点为.对称轴与轴的交点为．求.的值．连接.试判断是否为等腰三角形.并说明理由．现将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上.一直角边始终过点.另一直角边与轴相交于点.是否存在这样的点.使以点..为顶点的三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在轴正半轴上），为等腰直角三角形，且面积为，现将抛物线沿方向平移，平移后的抛物线过点时，与轴的另一点为，其顶点为，对称轴与轴的交点为．

求、的值．

连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由．

现将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点，是否存在这样的点，使以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】，；是等腰三角形，理由见解析；存在，点的坐标为或或或或，使，，三点为顶点的三角形与全等．

【解析】

(1)先求出A（0,c），则OA=c，再根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c，再由三角形面积公式得=4，计算得出c=2，把C（2，0）代入即可求出a的值；

(2)如图1，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2，设F（t，t+2），利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为，把C（2，0）代入解得：t=6，则平移后的抛物线解析式为，所以F（6，8），利用勾股定理计算出OF=10,由抛物线与x轴的交点问题确定E（10，0），则OE=OF=10，因此可判断△OEF为等腰三角形；

(3)分类讨论：当点Q在射线HF上，点P在x轴上方时，如图2，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，则可根据勾股定理计算出QH=，于是得Q点的坐标为（6，）；当点Q在射线HF上，点P在x轴下方时，如图3，有PQ=OE=10，利用三角形相似的判定方法，△PKQ∽△QHK，计算出QH的值，得到Q点的坐标为（6，3）；

当点Q在射线AF上，当PQ=OE=10时，如图4，有QE=PO，得出Q点的坐标为（10，12）；当点Q在射线AF上，当EQ=EO=10时，设Q（m，m+2），利用两点间的距离公式得到关于m的方程为：，解方程求出m的值，即可得到Q点的坐标．

∵抛物线与轴交于点，

∴，则，

∵为等腰直角三角形，

∴，

∴，解得，

∴，

把代入得，解得；

是等腰三角形．理由如下：如图，

设直线的解析式为，

把、代入得，解得，

则直线的解析式为，

设，

∵抛物线沿方向平移，平移后的抛物线过点时，顶点为，

∴平移后的抛物线解析式为，

把代入得，解得，

∴平移后的抛物线解析式为，

∴，

令，，解得，，

∴，

∴为等腰三角形；

存在．点的位置分两种情形．

情形一：点在射线上，

当点在轴上方时，如图，

∵，，

∴当时，，

而，

∴，

此时点坐标为；

当点在轴下方时，如图，有，过点作于点，则有，

在中，，

∵，∴，

∵，

∴，

∴，∴，解得，

∴．

情形二、点在射线上，

当时，如图，有，

∴四边形为矩形，∴的横坐标为，

当时，，∴．

当时，如图，

过作轴于点，过点作轴的垂线交于点．

设的坐标为为，∴，，，

在中，有，即，解得，

当时，如图，，∴，

综上所述，点的坐标为或或或或，使，，三点为顶点的三角形与全等．

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