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【题目】如图1,在矩形中,边上一点,连接,将矩形沿折叠,顶点恰好落在边上点处,延长的延长线于点

1)求线段的长;

2)如图2分别是线段上的动点(与端点不重合),且

①求证:

②是否存在这样的点,使是等腰三角形?若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)3;(2)①见解析;②存在.由①得DMN∽△DGM理由见解析

【解析】

1)根据矩形的性质和折叠的性质得出AD=AFDE=EF,进而设ECx,则DEEF8x,利用勾股定理求解即可得出答案;

2)①根据平行线的性质得出△DAE∽△CGE求得CG6,进而根据勾股定理求出DG=10,得出AD=DG,即可得出答案;②假设存在,由①可得当△DGM是等腰三角形时△DMN是等腰三角形,分两种情况进行讨论:当MGDG=10时,结合勾股定理进行求解;当MGDM时,作MHDGH,证出△GHM∽△GBA,即可得出答案.

解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是矩形,

ADBC10ABCD8,∠B=∠BCD =D90°

由翻折可知:ADAF10DEEF,设ECx,则DEEF8x

RtABF中,BF6

CFBCBF1064

RtEFC中,则有:(8x2x2+42

x3

EC3

2)①如图2中,

ADCG

∴∠DAE=CGE,∠ADE=GCE

∴△DAE∽△CGE

CG6

∴在RtDCG中,

AD=DG

∴∠DAG=∠AGD

∵∠DMN=∠DAM

∴∠DMN=∠DGM

∵∠MDN=GDM

∴△DMN∽△DGM

②存在.由①得△DMN∽△DGM

∴当△DGM是等腰三角形时△DMN是等腰三角形

有两种情形:

如图31中,当MGDG=10时,

BGBC+CG16

∴在RtABG中,

AMAG - MG =

如图32中,当MGDM时,作MHDGH

DHGH5

由①得∠DGM =DAG=AGB

∵∠MHG =B

∴△GHM∽△GBA

综上所述,AM的长为

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