【题目】如图1,在等边中,,动点从点出发以的速度沿匀速运动,动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动,当点到达点时,点、同时停止运动.设运动时间为,过点作于,交边于,线段的中点为,连接.
(1)当为何值时,与相似;
(2)在点、运动过程中,点、也随之运动,线段的长度是否会发生变化?若发生变化,请说明理由,若不发生变化,求的长;
(3)如图2,将沿直线翻折,得,连接,当为何值时,的值最小?并求出最小值.
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【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应地任务:
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则.
如图1,⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,⊙I与AB相切分于点F,设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2﹣2Rr.
下面是该定理的证明过程(部分):
延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN.
∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等),
∴△MDI∽△ANI,
∴,
∴①,
如图2,在图1(隐去MD,AN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF,
∵DE是⊙O的直径,∴∠DBE=90°,
∵⊙I与AB相切于点F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA,
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等),
∴△AIF∽△EDB,
∴,∴②,
任务:(1)观察发现:, (用含R,d的代数式表示);
(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;
(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;
(4)应用:若△ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
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【题目】如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,3),B(b,1)两点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,并求满足条件的点P的坐标;
(3)连接OA,OB,求△OAB的面积.
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【题目】如图所示的四枚邮票图片形状完全相同,分别是我国代科学家祖冲之、李时珍、张衡、僧一行.把四张图片混合在一起.
(1)若随机摸取一张图片,则摸到“祖冲之”图片的概率是__________;
(2)若随机摸取一张图片然后放回,再随机摸取一张图片,利用列表或树状图求两次至少有一次摸到“祖冲之”图片的概率;
(3)小东、小西、小南、小北四位同学依次摸取图片,若小东摸到“祖冲之”图片,则剩下三人中( )
A.小西摸到“李时珍”图片的概率大 B.小南摸到“李时珍”图片的概率大
C.小北摸到“李时珍”图片的概率大 D.三人摸到“李时珍”图片的概率一样大
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【题目】如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求证:DE平分∠BEP;
(3)若⊙O的半径为10,CF=2EF,求BE的长.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相较于A(2,3),B(﹣3,n)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>的解集;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,求S△ABC.
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【题目】如图1,在矩形中,,,是边上一点,连接,将矩形沿折叠,顶点恰好落在边上点处,延长交的延长线于点.
(1)求线段的长;
(2)如图2,,分别是线段,上的动点(与端点不重合),且.
①求证:∽;
②是否存在这样的点,使是等腰三角形?若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,正方形ABCD的顶点B在x轴上,点A、点C在双曲线y=(k>0,x>0)上.若直线BC的解析式为y=x﹣2,则k的值为( )
A.24B.12C.6D.4
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