Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，AD＝2BD，ED与AB的延长线相交于点F，连接AD.

（1）求证：DE为⊙O的切线.

（2）求证：△FDB∽△FAD；

（3）若BF＝2，，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3

【解析】

（1）连接OD，根据三角形斜边的中线等于斜边的一半可得EA＝ED，从而得出∠EDA＝∠EAD，通过OD＝OA，可得∠EDO＝∠EAO，再根据即可推出∠EDO＝90°，根据OD为⊙O的半径，即可得证DE为⊙O的切线；

（2）根据DE为⊙O的切线，OD＝OB，推算出∠FDB＝∠FAD，∠F为公共角，即可证明△FDB∽△FAD；

（3）根据△FDB∽△FAD可得出AF＝8，根据即可求出⊙O的半径．

（1）证明：连接OD，如图所示：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵E是AC的中点，

∴EA＝ED，

∴∠EDA＝∠EAD，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠EDO＝∠EAO，

∵AB⊥AC，

∴∠EAO＝90°，

∴∠EDO＝90°，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵DE为⊙O的切线，

∴∠ODF＝∠FDB＋∠ODB＝∠FAD＋∠OBD＝90°，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠FDB＝∠FAD，

又∵∠F为公共角，

∴△FDB∽△FAD，

（3）∵△FDB∽△FAD，

∴，且

∵BF＝2

∴＝.

∴DF＝4，AF＝8.

∴AB＝8－2＝6.

∴⊙O的半径是3.