Question

19．设圆内接正三角形面积是S₁，圆内接正方形面积是S₂，圆内接正六边形面积是S₃，当它们的边心距相等时，S₁、S₂、S₃之间的数量关系是（　　）

• A． S₁＞S₂＞S₃
• B． S₂＞S₁＞S₃
• C． S₃＞S₁＞S₂
• D． S₃＞S₂＞S₁

Answer 1

分析 设正三角形、正方形、正六边形的边心距为r；在正三角形ABC中，作OM⊥AB于M，求出正三角形的面积S₁；在正方形中，作OM⊥AB于M，求出正方形的面积S₂；在正六边形中，作OM⊥AB于M，求出正六边形的面积S₃，即可得出结果．

解答 解：设正三角形、正方形、正六边形的边心距为r；
在正三角形ABC中，作OM⊥AB于M，连接OA、OB；如图1所示：
则OM=r，OA=2r，
∴AM=$\sqrt{3}$r，
∴AB=2$\sqrt{3}$r，
∴正三角形的面积S₁=3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$r×r=3$\sqrt{3}$r${\;}^{{\;}^{2}}$；
在正方形中，作OM⊥AB于M，连接OA、OB，如图2所示：
则OM=r，
∴AB=2r，
∴正方形的面积S₂=（2r）²=4r²；
在正六边形中，作OM⊥AB于M，连接OA、OB，如图3所示：
则OM=r，AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，
∴正六边形面积是S₃=6×$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r×r=2$\sqrt{3}$r²，
∵3$\sqrt{3}$＞4＞2$\sqrt{3}$，
∴S₁＞S₂＞S₃，
故选：A．

点评 本题考查了正多边形和圆，正三角形、正方形、正六边形的性质以及面积的计算方法；把正三角形、正方形、正六边形的面积分别用相等的边心距表示出来是解题的关键．