Question

抛物线y=ax²-2ax与x轴正半轴交于B、C为顶点，且点C的纵坐标为2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，且△OPC是以OC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式

专题：计算题

分析：（1）先把y=ax²-2ax配成顶点式，然后根据顶点的纵坐标为2求出a的值，即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线上点的坐标特征设P点坐标为（x，-2x²+4x），再利用两点间的距离公式得到OP²=x²+（-2x²+4x）²，PC²=（x-1）²+（-2x²+4x-2）²，
再分类讨论：当∠PCO=90°时，根据勾股定理得OC²+PC²=OP²；当∠POC=90°时，根据勾股定理OC²+PO²=CP²，然后分别得到x的一元二次方程，解方程求出x即可得到满足条件的P点坐标．

解答：解：（1）∵y=a（x-1）²-a，
∴顶点C的坐标为（1，-a），
而C的纵坐标为2，
∴-a=2，解得a=-2，
∴抛物线解析式为y=-2x²+4x；
（2）设P点坐标为（x，-2x²+4x），
而C（1，2），
则OC²=1²+2²=5，OP²=x²+（-2x²+4x）²，PC²=（x-1）²+（-2x²+4x-2）²，
当∠PCO=90°时，OC²+PC²=OP²，即5+（x-1）²+（-2x²+4x-2）²=x²+（-2x²+4x）²，
整理得4x²-9x+5=0，解得x₁=1（舍去），x₂=

5

4

，
此时P点坐标为（

5

4

，

15

8

）；
当∠POC=90°时，OC²+PO²=CP²，即5+x²+（-2x²+4x）²=（x-1）²+（-2x²+4x-2）²，
整理得4x²-9x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=

9

4

，
此时P点坐标为（

9

4

，-

9

8

），
综上所述，满足条件的P点坐标为（

5

4

，

15

8

）或（

9

4

，-

9

8

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了两点间的距离公式和勾股定理．