Question

【题目】如图是一个桌面会议话筒示意图，中间BC部分是一段可弯曲的软管，在弯曲时可形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，线段AB，CD均与圆弧相切，点B，C分别为切点，已知AB的长10 cm，CD的长为25.2 cm．

(1)如图①，若话筒弯曲后CD与桌面AM平行，此时CD距离桌面14 cm，求弧BC的长度(结果保留π)；

(2)如图②，若话筒弯曲后弧BC所对的圆心角度数为60°，求话筒顶端D到桌面AM的距离(结果保留一位小数)．(参考数据：≈1.73)

Answer 1

【答案】（1）2π；（2）27.8 cm

【解析】

（1）根据线段AB，CD均与圆弧相切，CD距离桌面14cm，AB的长为10cm，可得半径OC为4cm．再根据弧长公式即可求得弧BC的长度；
（2）过点C作CN⊥DM于点N，得矩形CGHN，则CN∥OB，得∠OCN=∠BOC=60°，根据弧长公式求出半径，进而可求CG的长，即可求得D到桌面AM的距离．

解：(1)如图①，∵线段AB，CD均与圆弧相切，

∴OB⊥AB，OC⊥CD，∴CD∥OB∥AM，

∴∠BOC=∠OCD=90°．

∵CD距离桌面14 cm，AB的长为10 cm，

∴半径OC为4 cm．

∴弧BC的长度为=2π(cm)．

(2)如图②，过点C作CN⊥DM于点N，则CN∥OB．

∴∠OCN=∠BOC=60°．

∵∠OCD=90°，

∴∠NCD=30°，

∴DN=CD=×25．2=12．6(cm)．

过点C作CG⊥OB于点G．

∵弧BC的长度为2π cm，

∴2π=．

∴OB=OC=6 cm，

∴CG=OC·sin60°=6×=3≈5．2(cm)．

∴DM=DN+CG+AB=12．6+5．2+10=27．8(cm)．

故话筒顶端D到桌面AM的距离是27.8 cm．