Question

9．如图：已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=8，BD=6，动点P在边AB上运动，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，CQ切⊙O于点Q．则在点P运动过程中，切线CQ的长的最大值为$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 首先连接OQ，由CQ切⊙O于点Q，可得当OQ最小时，CQ最大，即当OP⊥AB时，CQ最大，然后由菱形与直角三角形的性质，求得OP的长，继而求得答案．

解答 解：连接OQ，
∵CQ切⊙O于点Q，
∴OQ⊥CQ，
∴∠CQO=90°，
∴CQ=$\sqrt{O{C}^{2}-O{Q}^{2}}$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴OC是定值，则当OQ最小时，CQ最大，
即OP最小时，CQ最大，
∴当OP⊥AB时，CQ最大，此时OQ=OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴CQ=$\frac{16}{5}$．
故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的性质、菱形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识．注意得到当OP⊥AB时，CQ最大是关键．