Question

已知x²-3x+1=0，求分式

x7+7x4+x

x8+3x4+1

的值．

Answer 1

考点：分式的化简求值

专题：计算题

分析：已知等式变形求出x+

1

x

的值，两边平方，利用完全平方公式变形求出x²+

1

x2

的值，同理求出x⁴+

1

x4

的值，利用多项式乘以多项式法则求出x³+

1

x3

的值，分别求出所求式子的分子分母，即可得到结果．

解答：解：由x²-3x+1=0，得x²+1=3x，
明显x≠0，等式两边可以同时除以x，得x+

1

x

=3①，
两边平方，得x²+2+

1

x2

=9，即 x²+

1

x2

=7②，
②两边再平方，得x⁴+2+

1

x4

=49，即x⁴+

1

x4

=47③，
①×②，得x³+

1

x

+x+

1

x3

=21，即x³+3+

1

x3

=21，
∴x³+

1

x3

=18④，
根据①②③④，得：x⁷+7x⁴+x=x⁴•

x7+7x4+x

x4

=x⁴•（x³+7+

1

x3

）=x⁴（18+7）=25x⁴，
同样的，分母部分为x⁸+3x⁴+1=x⁴•

x8+3x4+1

x4

=x⁴（x⁴+3+

1

x4

）=x⁴（47+3）=50x⁴，
则原式=

1

2

．

点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．