【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l: 与x轴.y轴交于B,A两点,点D,C分别为线段AB,OB的中点,连结CD,如图,将△DCB绕点B按顺时针方向旋转角,如图.
(1)连结OC,AD,求证∽;
(2)当0°<<180°时,若△DCB旋转至A,C,D三点共线时,求线段OD的长;
(3)试探索:180°<<360°时,是否还有可能存在A,C,D三点共线的情况,若存在,求出此直线的表达式;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)(3)存在,
【解析】
(1)先确定出点A,B坐标,进而求出BC,CD,即可判断出△OBC∽△ABD;
(2)先确定出△ACB≌△BOA,进而判断出平行四边形AOBC是矩形,利用勾股定理即可得出结论;
(3)先求出,进而利用勾股定理求出点C的坐标(,),最后用待定系数法即可得出结论.
解:(1)由得A(0,4),B(8,0),
则OA=4,OB=8,
∵AD=BD,OC=BC
∴BC=4,
∵∠ABO=∠DBC,
∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC.
∴∠OBC=∠ABD,
又.∵
∴△OBC∽△ABD.
(2)当0°<<180°,且A,C,D三点共线时,如图,
∵∠BCD=90°,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACB=∠BOA=90°.
又∵OA=BC=4,AB=BA,
∴△ACB≌△BOA.
∴AC=BO.
∴四边形AOBC是平行四边形 又∵∠AOB=90°.
∴平行四边形AOBC是矩形.
∴∠AOC=90°,AC=OB=8.
∴AD=AC+CD=8+2=10.
∴
(3)存在.
当180°<<360°且A,C,D三点共线时,如图,
连结OC,同(1)可得:△ABD∽△BOC.
∴
同(2)可得:△ACB≌△BOA.
∴AC=BO=8.
又CD=2,∴AD=6.
∵
∴
∴
过点C作CM⊥y轴于M,设OM=y,MC=x.
在Rt△OMC和Rt△AMC中有:
解得:
∴点C的坐标(,),
设直线AC的表达式为
∴解得:
所以所求直线AC的表达式为
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【题目】为了解我区初中学生课外阅读情况,调查小组对我区这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查,并根据调查结果绘制成如下统计图.
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查的样本容量是 ;
(2)补全条形统计图;
(3)我区共有18000名初中生,估计我区初中学生这学期课外阅读超过2册的人数.
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【题目】如图,直线y=﹣x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象的一支交于C(1,4),E两点,CA⊥y轴于点A,EB⊥x轴于点B,则以下结论:①k的值为4;②△BED是等腰直角三角形;③S△ACO=S△BEO;④S△CEO=15;⑤点D的坐标为(5,0).其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②③④C. ②③④⑤D. ①②③⑤
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【题目】为丰富同学们的校园生活,某校积极开展了形式多样的社团活动(每人仅限参加一项).小明在八年级随机抽取了2个班级,对这2个班级参加体育类社团活动的人数进行了统计,并绘制了下面的统计图.已知这2个班级共有6%的学生参加“足球”项目,且参加“足球”项目的学生数占参加体育类社团活动学生数的20%.
(1)这2个班参加体育类社团活动人数为 .
(2)请在图中将表示“棒球”项目的图形补充完整;
(2)若该校八年级共有600名学生,请你根据上述信息估计该校八年级共有多少名学生参加“棒球”项目.
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-x-6交y轴与点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式;
(2)连接GB、EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;
(3)①在y轴上存在一点H,连接EH、HF,当点E运动到什么位置时,以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E、H的坐标;
②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM的最小值.
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【题目】用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边形各边上的格点个数为a,内部的格点个数为b,则S=a+(b-1).
对于正三角形网格中的类似问题也有对应结论:正三角形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形,如图是该正三角形格点中的两个多边形(设格点多边形的面积为S,该多边形各边上的格点个数为m,内部的格点个数为n):
(1)根据图中提供的信息填表:
m | n-1 | s | |
多边形1 | 11 | ______ | 15 |
多边形2 | 8 | 1 | ______ |
… | … | … | … |
(2)则S与m、m-1之间的关系为______(用含m、n的代数式表示).
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【题目】如图,已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(,0),动点P在线段AB上运动,过点P作y轴的垂线,垂足为点M,作x轴的垂线,垂足为点N,连接MN,则线段MN的最小值为( )
A. 1B. C. D.
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【题目】某校初三一班组织了一次经典诵读比赛,甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制):
甲队 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙队 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲队成绩的中位数是_________分,乙队成绩的众数是_________分;
(2)已知甲队成绩的方差是1.4分2,则成绩较为整齐的是_________队;
(3)测试结果中,乙队获满分的四名同学相当优秀,他们是三名男生、一名女生,现准备从这四名同学中随机抽取两人参加学校组织的经典诵读比赛,用树状图或列表法求恰好抽中一男生一女生的概率.
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