Question

【题目】如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点与△ABC的外心重合，求的取值；

（3）点P是坐标平面内的一点，使得△ACB与△MCP，且CM的对应边为AC，请写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．

Answer 1

【答案】（1），M（1，5）；（2）3；（3）（，4）或（，）

【解析】

（1），则，抛物线表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，即可求解；

（2）直线的中点坐标为：，，则线段的中垂线的函数表达式为：，当时，，即外心坐标为，即可求解；

（3）分、两种情况，分别求解．

解：（1），则，抛物线表达式为：，

将点的坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：，

则点；

（2）点函数的对称轴为：，则点，点，

直线的中点坐标为：，，

则线段的中垂线的函数表达式为：，

当时，，即外心坐标为，

则二次函数图象向下平移了个单位，

∴m的取值为3；

（3）与相似，且的对应边为，存在或，

点、、、的坐标分别为：、、、，

则，，，，

①当时，如图，

则，即，

解得：，，

设点，

则，，

解得：，，

故点，；

②当时，如上图右侧图，

则点在直线上，直线的表达式为：，

同理可得：，

设点，则，

解得：（不合题意的值已舍去），

故点，；

综上，点的坐标为：，或，．