Question

【题目】如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A、B、C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中△BCE绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上（如图2），求证：△CAN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：如图1，∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM，

∵点M为DE的中点，

∴DM=EM，

在△ADM和△NEM中，

，

∴△ADM≌△NEM（AAS），

∴AM=MN，

∴M为AN的中点

（2）解：证明：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°，

∵AD∥NE，

∴∠DAE+∠NEA=180°，

∵∠DAE=90°，

∴∠NEA=90°，

∴∠NEC=135°，

∵A，B，E三点在同一直线上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°，

∴∠ABC=∠NEC，

∵△ADM≌△NEM（已证），

∴AD=NE，

∵AD=AB，

∴AB=NE，

在△ABC和△NEC中，

，

∴△ABC≌△NEC（SAS），

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，

∵∠BCE=90°，

∴∠ACN=∠BCE=90°，

∴△ACN为等腰直角三角形．

（3）解：△ACN仍为等腰直角三角形．

证明：如图3，A、B、N三点在同一条直线上，

∵AD∥EN，∠DAB=90°，

∴∠ENA=∠DAN=90°，

∵∠BCE=90°，

∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°，

∵A、B、N三点在同一条直线上，

∴∠ABC+∠CBN=180°，

∴∠ABC=∠NEC，

∵△ADM≌△NEM（已证），

∴AD=NE，

∵AD=AB，

∴AB=NE，

在△ABC和△NEC中，

，

∴△ABC≌△NEC（SAS），

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，

∴∠ACN=∠BCE=90°，

∴△ACN为等腰直角三角形．

【解析】（1）由EN∥AD和点M为DE的中点，可以证得△ADM≌△NEM，从而证得M为AN的中点；（2）根据已知条件，易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，从而可得△ABC≌△NEC，进而可以证得AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，可得△ACN为等腰直角三角形；（3）根据已知条件，易得△ADM≌△NEM，根据四边形BCEF内角和为360°，可得∠ABC=∠FEC，从而可以证得△ABC≌△NEC，进而可以证得AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，即可得出△ACN为等腰直角三角形．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)．