Question

【题目】如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

过P做BC的平行线交AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD＝CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE＝EF，即可推出AE＋DC＝EF＋FD，可得ED＝AC，即可推出ED的长度．

解：过P做BC的平行线交AC于F，

∴∠Q＝∠FPD，

∵等边△ABC，

∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，

∴△APF是等边三角形，

∴AP＝PF，

∵AP＝CQ，

∴PF＝CQ，

∵在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD＝CD，

∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，

∴AE＝EF，

∴AE+DC＝EF+FD，

∴ED＝AC，

∵AC＝2，

∴DE＝1．

故答案为1．