Question

关于x的分式方程2k-4+

k+1

x

=

k-5

x+2

仅有一个实数根，则实数k的取值共有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：分式方程的解

专题：

分析：先将原方程去分母，两边都乘x（x+2），整理得到（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0．再分两种情况进行讨论：①当k-2≠0时，由于△=（2k-1）²-4（k-2）（k+1）=9＞0，得出（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0有两个不相等的实数根．由原方程仅有一个实数根，得出（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0有一个根为0或-2，进而求出k=-1或5；②当k-2=0，即k=2时，方程为3x+3=0，解得x=-1，符合题意．

解答：解：方程两边都乘x（x+2）得，（2k-4）x（x+2）+（k+1）（x+2）=x（k-5），
整理得，（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0．
①当k-2≠0时，∵△=（2k-1）²-4（k-2）（k+1）=9＞0，
∴一元二次方程（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0有两个不相等的实数根．
∵关于x的分式方程2k-4+

k+1

x

=

k-5

x+2

仅有一个实数根，
而x（x+2）=0时，x=0或-2，
∴x=0时，k+1=0，k=-1，此时方程-3x²-3x=0的根为x=0或-1，
其中x=0是原方程的增根，x=-1是原方程的根，符合题意；
x=-2时，4（k-2）-2（2k-1）+k+1=0，k=5，此时方程3x²+9x+6=0的根为x=-2或-1，
其中x=-2是原方程的增根，x=-1是原方程的根，符合题意；
即k=-1或5；
②当k-2=0，即k=2时，方程为3x+3=0，解得x=-1，符合题意；
即k=2．
综上所述，若关于x的分式方程2k-4+

k+1

x

=

k-5

x+2

仅有一个实数根，则实数k的取值为-1或5或2，共有3个．
故选C．

点评：本题考查了分式方程的解，理解分式方程产生增根的原因是解题的关键．本题有一定难度．