Question

已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F．当BE=CF时，求证：AE=AF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点B作BG∥FC，延长FD交BG于点G．由平行线的性质可得∠G=∠F，然后判定△BDG和△CDF全等，根据全等三角形的性质和等量代换得到BE=BG，由等腰三角形的性质可得∠G=∠BEG，由对顶角相等及等量代换得出∠F=∠AEF，根据等腰三角形的判定得出AE=AF．

解答：证明：过点B作BG∥FC，延长FD交BG于点G．

∴∠G=∠F．
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD． 
在△BDG和△CDF中，

∠G=∠F  ∠BDG=∠CDF  BD=CD

∴△BDG≌△CDF（AAS）．
∴BG=CF．
∵BE=CF，
∴BE=BG．
∴∠G=∠BEG．
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠G=∠AEF．
∴∠F=∠AEF． 
∴AE=AF．

点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的判定与性质，作出辅助线构造等腰三角形，并根据等腰三角形的性质得到三角形全等的条件是解题的基本思路．