Question

如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，AC⊥CB，AC平分∠DAB，E为AB的中点．
（1）求证：AC²=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求

AC

AF

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明△ADC∽△ACB，得比例式AD：AC=AC：AB，即可得出结论；
（2）先证∠CAB=∠ACE，得出∠DAC=∠ACE，证出CE∥AD；
（3）由（1）先求出AC，再证明△AFD∽△CFE，得出比例式，AF：CF=AD：CE=4：3，即可证出结论．

解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AD⊥DC，AC⊥BC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE=

1

2

AB=AE，
∴∠CAB=∠ACE，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACE，
∴CE∥AD；
（3）解：∵AC²=AB•AD=6×4=24，
∴AC=2

6

，
∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴

AF

CF

=

AD

CE

，
∵CE=

1

2

AB=3，
∴

AF

CF

=

4

3

，
∴

AC

CF

=

7

3

，
∴

AC

AF

=

7

4

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，证明三角形相似得出比例式是解题的关键．