Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点．①△ABC是Rt△；②△PAB≌△O₂AC；③BC²=4O₁A•O₂A；④以O₁O₂为直径的圆与BC恰好相切于点P．上述结论，正确结论的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；证明(λ+μ)2=(λ-μ)2+O2Q2，得到BC2=O2Q2=4λμ，故③成立；证明∠PAB+∠PAC=90°，得到△ABC为直角三角形，故①正确．证明∠O₁PO₂=90°，得到以O₁O₂为直径的圆必过点P；证明MP⊥BC，得到④正确；

解答：解：如图，设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为λ、μ；
接O₁P、O₂P；过点O₂作O₂Q⊥O₁B；
∵⊙O₁与⊙O₂外切，且PA是内公切线，BC是外公切线，
∴O₁O₂=λ+μ；∠O₁BC=∠O₂CB=90°；
∴四边形BCO₂Q为矩形，
∴BQ=CO₂=μ，O₁Q=λ-μ；BC=O₂Q；
由勾股定理的得：
(λ+μ)2=(λ-μ)2+O2Q2，
∴BC2=O2Q2=4λμ，故③成立；
由题意得：∠PAB=

1

2

∠AO₁B，∠PAC=

1

2

∠AO₂C；
∵O₁B∥O₂C，
∴∠AO₁B+∠AO₂C=180°，
∴∠PAB+∠PAC=90°，
∴△ABC为直角三角形，故①正确．
同理可证∠O₁PO₂=90°，
∴以O₁O₂为直径的圆必过点P；
取O₁O₂的中点M，连接MP；
∵PA=PB，PB=PC，
∴PA=PC，点P为BC的中点，
∴PM为梯形BCO₁O₂的中位线，
∴MP∥O₁B，MP⊥BC，
∴④正确；
综上所述，正确结论的个数为3，
故选C．

点评：该题主要考查了相切两圆的性质、切线长定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．