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【题目】把两个全等的直角三角板ABCEFG叠放在一起,使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=∠F30°,斜边ABEF长均为4.

(1) EGAC于点KGFBC于点H时(如图①),求GHGK的值.

(2) 现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转,旋转角α满足条件:α<30°(如图②),EGAC于点K GFBC于点HGHGK的值是否改变?证明你发现的结论;

3)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周,是否存在某位置使BFG是等腰三角形,若存在,请直接写出相应的旋转角α(精确到0.1°);若不存在,说明理由.

【答案】(1) GHGK=(2)不变,GHGK=GNGM=(3)存在,30°、90°、133.2°或346.8°.

【解析】

1)根据30°的直角三角形的三边关系,利用已知条件和勾股定理可以求出直角三角形的三边长度,利用三角形的中位线可以求出GK,和GH的值,可以求出其比值.
2)作GMACMGNBCN,利用三角形相似可以求出GHGK的比值不变.
3)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周,存在某位置使△BFG是等腰三角形,相应的旋转角α为:30°90°133.2°346.8°.

1)∵∠ACB=EGF=90°,∠B=F=30°
AC=ABEG=EF
AB=EF=4
AC=EG=2,在RtACBRtEGF中,由勾股定理得
BC=GF=2

GEACGFBC
GEBCGFAC
GAB的中点
KH分别是ACCB的中点
GKGHABC的中位线
GK=BC=GH=AC=1
GHGK=1

2)不变,
理由如下:作GMACMGNBCN
∴∠GMC=GNH=90°由旋转的性质可知:
2=1
∴△GMK∽△GNH

GNGM=1

GHGK=1

∴旋转角α满足条件:α30°时,GHGK的值比值不变;

3)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周,存在某位置使△BFG是等腰三角形,相应的旋转角α为:30°90°133.2°346.8°

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