【题目】把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起,使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠B=∠F=30°,斜边AB和EF长均为4.
(1)当 EG⊥AC于点K,GF⊥BC于点H时(如图①),求GH:GK的值.
(2) 现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转,旋转角α满足条件:0°<α<30°(如图②),EG交AC于点K ,GF交BC于点H,GH:GK的值是否改变?证明你发现的结论;
(3)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周,是否存在某位置使△BFG是等腰三角形,若存在,请直接写出相应的旋转角α(精确到0.1°);若不存在,说明理由.
【答案】(1) GH:GK=;(2)不变,GH:GK=GN:GM=;(3)存在,30°、90°、133.2°或346.8°.
【解析】
(1)根据30°的直角三角形的三边关系,利用已知条件和勾股定理可以求出直角三角形的三边长度,利用三角形的中位线可以求出GK,和GH的值,可以求出其比值.
(2)作GM⊥AC于M,GN⊥BC于N,利用三角形相似可以求出GH与GK的比值不变.
(3)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周,存在某位置使△BFG是等腰三角形,相应的旋转角α为:30°、90°、133.2°或346.8°.
(1)∵∠ACB=∠EGF=90°,∠B=∠F=30°
∴AC=AB,EG=EF
∵AB=EF=4
∴AC=EG=2,在Rt△ACB和Rt△EGF中,由勾股定理得
BC=GF=2
∵GE⊥AC,GF⊥BC
∴GE∥BC,GF∥AC
∵G是AB的中点
∴K,H分别是AC、CB的中点
∴GK,GH是△ABC的中位线
∴GK=BC=,GH=AC=1
∴GH:GK=1;;
(2)不变,
理由如下:作GM⊥AC于M,GN⊥BC于N,
∴∠GMC=∠GNH=90°由旋转的性质可知:
∠2=∠1
∴△GMK∽△GNH
∴
∵GN:GM=1:
∴GH:GK=1:
∴旋转角α满足条件:0°<α<30°时,GH:GK的值比值不变;
(3)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周,存在某位置使△BFG是等腰三角形,相应的旋转角α为:30°、90°、133.2°或346.8°.
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【题目】如图,AB是的直径,,AC切于点A,点E为上一点,且,连CE交BD于点D.
求证:CD为的切线;
连AD,BE交于点F,的半径为2,当点F为AD中点时,求BD.
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【题目】抛物线过点,顶点为M点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)试判断抛物线上是否存在一点P,使∠POM=90.若不存在,说明理由;若存在,求出P点的坐标;
(3)试判断抛物线上是否存在一点K,使∠OMK=90,说明理由.
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【题目】在中,,,,于点H,点D在AH上,且,连接BD.
如图1,将绕点H旋转,得到点B、D分别与点E、F对应,连接AE,当点F落在AC上时不与C重合,求AE的长;
如图2,是由绕点H逆时针旋转得到的,射线CF与AE相交于点G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系,并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,顶点B的坐标为(4,2).点M是边BC上的一个动点(不与B、C重合),反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过点M且与边AB交于点N,连接MN.
(1)当点M是边BC的中点时.
①求反比例函数的表达式;
②求△OMN的面积;
(2)在点M的运动过程中,试证明:是一个定值.
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【题目】国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”.为此,某市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生.根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图所示,其中分组情况是:
A组:;B组:
C组:D组:
请根据上述信息解答下列问题:
(1)C组的人数是;
(2)本次调查数据的中位数落在组内;
(3)若该辖区约有24 000名初中学生,请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少?
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【题目】对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >,即已知n为正整数,如果n-≤x<n+,那么< x >=n.例如:< 0 >=< 0.48 >=0,< 0.64 >=< 1.493 >=1,< 2 >=2,< 3.5 >=< 4.12 >=4,…则满足方程< x >=的非负实数x的值为____.
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【题目】如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点,该抛物线的对称轴与x轴交于点E.
(1)直接写出抛物线的解析式为 ;
(2)以点E为圆心的⊙E与直线AB相切,求⊙E的半径;
(3)连接BC,点P是第三象限内抛物线上的动点,连接PE交线段BC于点D,当△CED为直角三角形时,求点P的坐标.
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【题目】A、B两地相距90km,甲骑摩托车由A地出发,去B地办事,甲出发的同时,乙骑自行车同时由B地出发沿着同一条道路前往A地,甲办完事后原速返回A地,结果比乙早到0.5小时.甲、乙两人离A地距离y(km)与时间x(h)的函数关系图像如图所示.下列说法:①.a=3.5,b=4;② 甲走的全路程是90km;③乙的平均速度是22.5km/h;.④甲在B地办事停留了0.5小时.其中正确的说法有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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