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【题目】中,于点H,点DAH上,且,连接BD

如图1,将绕点H旋转,得到BD分别与点EF对应,连接AE,当点F落在AC上时不与C重合,求AE的长;

如图2是由绕点H逆时针旋转得到的,射线CFAE相交于点G,连接GH,试探究线段GHEF之间满足的等量关系,并说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)(I)AE=;(II).

【解析】

1)先根据tanC3,求出AH3CH1,然后根据△EHA∽△FHC,得到,HP3APAE2AP,最后用勾股定理即可;

2)先判断出△AGQ∽△CHQ,得到,然后判断出△AQC∽△GQH,用相似比即可.

(1)如图,

Rt△AHC中,

∵tanC3

3

CHx

∴BHAH3x

∵BC4

∴3x+x4

∴x1

∴AH3CH1

由旋转知,∠EHF∠BHD∠AHC90°EHAH3CHDHFH

∴∠EHF+∠AHF∠AHC+∠AHF

∴∠EHA∠FHC=1

∴△EHA∽△FHC

∴∠EAH∠C

∴tan∠EAHtanC3

过点HHP⊥AE

∴HP3APAE2AP

Rt△AHP中,AP2+HP2AH2

∴AP2+(3AP)29

∴AP

∴AE

(2)如图1

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到,

∴HDHF∠AHF30°

∴∠CHF90°+30°120°

(1)有,△AEH△FHC都为等腰三角形,

∴∠GAH∠HCG30°

∴CG⊥AE

CHGA四点共圆,

∴∠CGH∠CAH

CGAH交于点Q

∵∠AQC∠GQH

∴△AQC∽△GQH

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到,

∴EFBD

(1)知,BDAC

∴EFAC

2

即:EF2HG

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